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小升初奥数之基本行程问题

来源:学而思奥数网(原创)   作者:.   2008-09-17 14:44:51

  我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题,总称为行程问题.在三年级的学习中,我们已经接触过一些简单的行程应用题,行程问题主要涉及时间(t)、速度(v)和路程(s)这三个基本量,它们之间的关系如下:

  (1)速度×时间=路程可简记为:s=vt

  (2)路程÷速度=时间可简记为:t=s÷v

  (3)路程÷时间=速度可简记为:v=s÷t

  显然,知道其中的两个量就可以求出第三个量.

  关于平均速度的计算,需要知道整个过程的总路程与总时间,平均速度=总路程÷总时间

  (一)直接利用行程问题基本关系解决的行程问题:

  【例1】龟、兔进行1000米的赛跑.小兔斜眼瞅瞅乌龟,心想:“我小兔每分钟能跑100米,而你乌龟每分钟只能跑10米,哪是我的对手.”比赛开始后,当小兔跑到全程的一半时,发现把乌龟甩得老远,便毫不介意地躺在旁边睡着了.当乌龟跑到距终点还有40米时,小兔醒了,拔腿就跑.

  请同学们解答两个问题:

  (1)它们谁胜利了?为什么?

  (2)胜者到终点时,另一个距终点还有几米?

  分析:

  (1)乌龟胜利了.因为兔子醒来时,乌龟离终点只有40米,乌龟需要40÷10=4(分钟)就能到达终点,而兔子离终点还有500米,需要500÷100=5(分钟)才能到达,所以乌龟胜利了.

  (2)乌龟跑到终点还要(40÷10)=4(分钟),而小兔跑到终点还要1000÷2÷100=5(分钟),慢1分钟.

  当胜利者乌龟跑到终点时,小兔离终点还有:100×1=100(米).

  【例2】解放军某部开往边境,原计划需要行军18天,实际平均每天比原计划多行12千米,结果提前3天到达,这次共行军多少千米?

  分析:“提前3天到达”可知实际需要18-3=15天的时间,而“实际平均每天比原计划多行12千米”,则15天内总共比原来15天多行的路程为:12×15=180千米,这180千米正好填补了原来3天的行程,因此原来每天行程为180÷3=60千米,问题就能很容易求解.原来的速度为:(18-3)×12÷3=60(千米/天),因此总行程为:60×18=1080(千米)

  (二)平均速度

  【例3】摩托车驾驶员以每小时30千米的速度行驶了90千米到达某地,返回时每小时行驶45千米,求摩托车驾驶员往返全程的平均速度.

  分析:

  要求往返全程的平均速度是多少,必须知道摩托车“往”与“返”的总路程和“往”与“返”的总时间.摩托车“往”行了90千米,“返”也行了90千米,所以摩托车的总路程是:90×2=180(千米),摩托车“往”的速度是每小时30千米,所用时间是:90÷30=3(小时),摩托车“返”的速度是每小时45千米,所用时间是:90÷45=2(小时),往返共用时间是:3+2=5(小时),由此可求出往返的平均速度,列式为:90×2÷(90÷30+90÷45)=180÷5=36(千米/小时)

  【例4】胡老师骑自行车过一座桥,上桥速度为每小时12千米,下桥速度为每小时24千米,而且上桥与下桥所经过的路程相等,中间也没有停顿,问这个人骑车过这座桥的平均速度是多少?

  分析:题目中没有告诉我们总的路程,给计算带来不便,仔细想一想,只要上下桥路程相等,总路程是不影响平均速度的,我们自己设一个路程好了,不妨设为48千米,来回两段路,所以每段路程为:48÷2=24(千米),总时间是:24÷12+24÷24=3(小时),所以平均速度是:48÷3=16(千米/小时)

  【例5】甲、乙两地相距6720米,某人从甲地步行去乙地,前一半时间平均每分钟行80米,后一半时间平均每分钟行60米.问他走后一半路程用了多少分钟?[!--empirenews.page--]

  分析:(方法1)由于前一半时间与后一半时间的平均速度是已知的,因此可以计算出这人步行的时间.而如果了解清楚各段的路程、时间与速度,题目结果也就自然地被计算出来了.

  应指出,如果前一半时间平均速度为每分钟80米,后一半时间平均速度为每分钟60米,则这个人从甲走到乙的平均速度就为每分钟走(80+60)÷2=70米.这是因为一分钟80米,一分钟60米,两分钟一共140米,平均每分钟70米.而每分钟走80米的时间与每分钟走60米的时间相同,所以平均速度始终是每分钟70米.

  这样,就可以计算出这个人走完全程所需要的时间是6720÷70=96分钟.由于前一半时间的速度大于后一半时间的速度,所以前一半的时间所走路程大于6720÷2=3360米.则前一个3360米用了3360÷80=42分钟;后一半路程所需时间为96-42=54分钟.

  (方法2)设走一半路程时间是x分钟,则80x+60x=6720,解方程得:x=48分钟,因为80×48=3840(米),大于一半路程3360米,所以走前一半路程速度都是80米,时间是3360÷80=42(分钟),后一半路程时间是48+(48-42)=54(分钟).

  【例6】有一座桥,过桥需要先上坡,再走一段平路,最后下坡,并且上坡、平路及下坡的路程相等.某人骑电动车过桥时,上坡、走平路和下坡的速度分别为11米/秒、22米/秒和33米/秒,求他过桥的平均速度.

  分析:假设上坡、平路及下坡的路程均为66米,(引导学生思考设为66的原因),那么总时间=66÷11+66÷22+66÷33=6+3+2=11(秒),过桥的平均速度=66×3÷11=18(米/秒).

 

 

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